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プリティ中野の一問入魂

元大学受験ラジオ講座講師プリティ中野が医学部・難関大受験生に贈るエール

ドラゴンスター山下の数学物語17

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みなさんこんにちは!
ドラゴンスター山下です。
数学物語第17弾、今回は久しぶり(?)に、
純粋な数学についての話題を取り上げようかと思います。

題材は、皆さんが数学Ⅲで勉強する『極限』についてのお話で、
『アキレスと亀』という題名がついています。

『アキレスと亀』は古代ギリシアの自然哲学者、
ゼノンによって考案された『4つのパラドックス』の中の一つであり、
非常に有名な話なので、既に知っている方には申し訳ないのですが、
僕自身が大学の講義中にこの話を聞いたとき、とても面白いなと思いましたので、
お話しさせて頂こうと思います。
内容は以下の通りです。


『足の速い人間アキレスと、足の遅い亀がいる。
アキレスは秒速2メートルで走り、亀は秒速1メートルで走ると仮定しよう。
同じ地点からスタートしたのでは、アキレスが勝って当然だ。
そこで亀のスタート地点をアキレスより100m先に置き、同時にスタートさせるとしよう。
そうしてみても、アキレスはいずれ亀に追いつき、追い抜くだろう。』


ここまでのお話は、一般的な感覚から考えれば当たり前のことですね。
しかしながら、『アキレスと亀』のお話はまだ続きます。
以下のように考えてみると、亀に追いつけるはずのアキレスが、
一転、いつまでたっても追いつけなくなってしまうのです。


『100m離れてアキレスと亀は同時にスタートする。
少し時間が経過しやがてアキレスが100m先の亀のスタート地点に着いたとき、
亀はそこから何mか先にいる。
そこを地点1としよう。
アキレスが走り続けて地点1に着いたとき、亀は地点1の何mか先にいる。
そこを地点2としよう。
再びアキレスが走り続けて地点2に着いたとき、再び亀は地点2の何mか先にいる。
この作業を何度くりかえしても、亀は常にアキレスの前に居ることになり、
だからアキレスは亀に追いつくことはできない。』


…いかがでしたでしょうか。
もちろん、アキレスが永遠に追いつけないなんてことは、あるわけがないのです。
では、この一見正しい文章のどこに矛盾が隠されているのでしょうか?


少し考えてみるとしましょう。
第一に、私たちはアキレスが亀に追いつくことを事実の観察としてすでに知っていますね。
ひとまず、スタート後何秒で亀に追いつくかを、次のような簡単な計算で導いてみましょう。

2m/秒×x秒=1m/秒×x秒+100m
x=100秒

すなわち、スタートから100秒後に、アキレスのスタート地点から200m先で、
アキレスは亀に追いつくこととなります。

ですが、『アキレスと亀』の話を聞くと、
頭が混乱して追いつくことが不可能なようにも思えてきてしまいます。
だからこそパラドックスと言われているのですが。



このパラドックスを紐解くためのカギの一つは、
『回数』と『時間』、『有限』と『無限』の違いにあります。
本文の中には、アキレスが亀のいた地点にたどり着いたとき、
亀はそこから少し前にいて、この操作を何度繰り返しても、
アキレスが亀に追いつくことは、不可能である、とあります。
実はそれ自体には矛盾はなく、それはその通りなのです。

ただしその操作の繰り返しが『有限回』である間は、ですが。
操作が有限回のうちは、アキレスは亀に追いつくことができません。
しかし無限にそれを繰り返せば、アキレスは亀に追いつくことができるのです。
そしてここに勘違いが生じるのです。
無限『回』繰り返さねばならないといわれたとき、素直に聞き入れてしまうと、
じゃあアキレスは『いつまでたっても』亀に追いつけないのではないんだな、と考えてしまいますよね。
『いつまでも』という言葉は時間の要素を含みます。
そして『回数』と『時間』は全く別物です。もっと詳しく言えば、
無限の『回数』を繰り返すのに要する『時間』は無限ではない、ということです。
そしてこの有限な『時間』が100秒なのです。
この100秒の間に、先ほどの操作は限りなく繰り返されます。
『回数』と『時間』の混同が、不可解な矛盾を生み出していたというわけです。


以上が哲学的観点からの見解です。
そしてここからが、数学のお話です。

この操作をn回繰り返した時点での、
アキレスと亀の距離をAnとおきます。
亀が地点1に進んだ時点での差は50mであるから、A1=50
亀が地点2に進んだ時点での差は25mであるから、A2=25
以下繰り返すと、A3=12.5、A4=6.25、・・・となります。
つまりAn=100÷(2^n)が成り立つのです。

ここでn(この操作の回数)を無限大に持っていくとAnは0に収束します。


一方で、nを無限大にしてアキレスと亀の距離が0になるために要する時間はというと、
亀のスピードを考えれば、一回目の操作に要する時間が50秒、二回目の操作で25秒、
三回目の操作で12.5秒ということになるため、要する時間Tとおくと、
T=50+25+12.5+6.25+・・・となります。
ここで両辺0.5をかけると、
0.5T=25+12.5+6.25+3.125+・・・とできます。


以上より、辺々引いてみるとT-0.5T=50
つまり0.5T=50となり、
T=100秒という結果が得られます。


以上のように、数学の世界での言語と、
日常の世界での言語にはいくらかギャップが生じています。
どちらかというと、数学の世界の方が繊細で、曖昧な表現を許しません。

僕が今回皆さんに学んで欲しかったのは、
極限の話よりもむしろ、そういった数学独特の特徴です。
今回のように、『いつまでたっても』と言われたときに、
日常のなかでの意味と決して混同しないことが大切なのです。
また同時に、問題文をしっかりと、数学の言葉に変換しながら読むこともとても重要です。
このあたりは、受験数学においても、とても大切な要素となり得ることでしょう。
今回の『ゼノンのパラドックス』から、
数学と言語の関係の深さを読み取ってもらえると、私としては幸いです。


それでは長くなってしまいましたが、そろそろ失礼いたします。
まだまだ受験は続きます。頑張れ受験生!!!


名古屋大学理学部数理科学科 山下龍星


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プリティ中野の書評 山本兼一著『信長死すべし』

山本兼一は僕の同志社文学研究会時代の仲間である。
今年の2月13日、僕の誕生日に彼は肺がんで他界した。
最後の原稿を中央公論の編集者に送稿した5時間半後に息を引き取ったのだった。
彼は骨太の歴史小説をいくつも遺していった。
まだ生き残っている僕は彼の作品を語り続けたい。
セント・メプレス発足時に推薦文を書いてくれた恩義に応えるためにも。


歴史上の事実を透視して

隠れているその真実を虚構の中に抉り出すという

歴史文学の生命線が骨太に貫かれている力作である。

本能寺の変の要因には諸説あるが、光秀が信長を討ったという事実は動かない。

ならば光秀の心の天秤を主君弑逆に傾けさせたベクトルが

単一であれ、複数ベクトルの合力であれ

普遍の人間性をキャンバスにしつつ山本の雄渾の筆致で本能寺が描かれれば、

読者は自ずと、光秀は言うに及ばず、信長や帝

さらには近衛前久を始めとする公卿と交感するのである。

時間と空間を超越する地下茎で繋がれた端末が個々の人間とするなら

マザーコンピュータが奈辺にあるのか。

その所在を垣間見せる力量こそが作家の力量であり

その意味で山本兼一は最もマザーコンピュータに肉薄した端末なのであろう。

― 光秀の魂は、そのまま深い闇の奈落に落ちていった。

最終章『無明』のエンディングである。

無明のカオスの中で人間は蠢き

その蠢きの一つひとつを糸として

壮大な人間の歴史が紡がれていく。

事件から430年が経過した今

山本兼一が創出する本能寺の変と交感し

描かれる無明の中に自分自身の座標を求めることができるなら

歴史小説読者として、至福の悦びとなるだろう。

その悦びを共有する一人として

まだ手にしておられない全ての方に本作を薦めるものである。


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山本兼一からいただいた推薦文

中野俊一氏は、わたしの同志社大学時代の先輩である。
わたしと中野氏は大学の文学研究会に所属していた。
わたしが二年になったとき中野氏は、その会の会長になった。
文学研究会は、学術団体でありながら、無頼を気取る輩が多かった。
そんななかにあって、中野氏はめずらしく情熱と責任感にあふれた人材であった。
だからこそ、自尊心の高い会員たちから請われて会長に就任したのである。
そんな中野氏がこのたび新しく塾を開くという。
その名はセント・メプレス。
中野氏が開く塾ならば、さぞや熱気にあふれ、
塾生は激しく切磋琢磨されることであろう。そう信じてやまない。

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在りし日の山本兼一



あなたが生まれたとき、周りの人は笑って、あなたは泣いていたでしょう。

だからあなたが死ぬときは、あなたが笑って、周りの人が泣くような人生をおくりなさい。

                               ~アメリカ・インディアンの言葉



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医学部受験生に贈る!
未来の医師養成講座
愛知医科大学理事長三宅養三先生からご推薦をいただきました。


講師:吉田統彦(つねひこ)先生




東海高校を経て名古屋大学医学部、同大学院卒業。
米国ジョンズ・ホプキンス大学ウィルマー・アイ・インスティテュートにて勤務。
眼科医。医学博士。愛知医科大学医学部客員教授。昭和大学医学部客員教授。
名古屋大学医学部非常勤講師。名古屋医療センター非常勤医師。前衆議院議員。

講義内容/日米の医療の比較を通じて、現代日本の医療問題を、毎回テーマを変えながら鋭くえぐりだし、医師をめざす受験生の使命感を、インテリジェントにそしてパッショネートに鼓舞します。このコースはまた医学部入試の面接試験での発言能力や小論文の背景知識を涵養することにも力を注ぎます。

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  1. 2015/02/06(金) 00:00:01|
  2. 名古屋大学理学部
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名古屋千種駅前の医学部&名門難関大専門塾セント・メプレス学長。元大学受験ラジオ講座講師。

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