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プリティ中野の一問入魂

元大学受験ラジオ講座講師プリティ中野が医学部・難関大受験生に贈るエール

ドラゴンスター山下の数学物語21

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みなさんこんにちは!
ドラゴンスター山下の数学物語第21回です。

今回は『ユークリッドの互除法』について書きたいと思います。
『ユークリッドの互除法』は2014年度受験生から新たに適用された学習要領、
いわゆる“新課程”において、数学Aに新しく導入された内容になります。
今回なぜこの話題を取り上げたかというと、旧課程世代である私自身、
高校生の時には習わなかった内容なので個人的にすごく新鮮味があることがまず一つです。
また授業をしている中で、互除法の使用法は知っていても、なぜそうなるのか、
何をやっているのかを理解していない生徒が多かったからです。

ユークリッド互除法がまだ怪しいという人は、ぜひ今回で復習しておいてくださいね!

では本題に入りたいと思います。
そもそも、ユークリッドの互除法とはどういった定理なのかというと、

整数aを整数bで割った時の商をq、余りをrとするとき、
つまりa=bq+rが成り立つとき、
(aとbの最大公約数)=(bとrの最大公約数)
が成立する。

という内容です。
最大公約数をつくる数の組の変換ができるのですね。

それでは、どうしてそんなことが出来るのか、証明をしておきたいと思います。

(証明)
aとbの最大公約数をm_______(1)、
bとrの最大公約数をn________(2)とおく。
定理の条件より、a=bq+r_______(3) が成り立つ。
ここで(2)よりbとrはnの倍数だから、aもnの倍数となる。
ゆえにnはaとbの公約数となる。(1)よりaとbの公約数の中で最大のものがmであるから、n≦mが成立する。

また(3)を移項すると、r=a-bqが成り立つ。
ここで(1)よりaとbはmの倍数だから、rもmの倍数となる。
ゆえにmはbとrの公約数となる。(2)よりbとrの公約数の中で最大のものがnであるから、m≦nが成立する。

以上よりn≦mかつn≧mとなりn=mがいえる。
よって主張が成立する。

(証明終)

少し難しいかもしれませんが、mとnの最大性に注意すれば、
同じことを二度、繰り返すだけで証明ができます。

次に互除法が具体的にどういったときに役立つのかということですが、

例えば40と28の最大公約数はなんですか?と聞かれたとします。
この場合は簡単で、
40の約数は1、2、4、5、8、10、20、40。
一方、28の約数は1、2、4、7、14、28 ですね。
以上見比べると、4が最大公約数となります。簡単ですね。

では、759と161の最大公約数はなんですか?と聞かれた場合はどうでしょうか。
先ほどと同じやり方では、なかなか大変そうじゃないですか?
こういったときに、今回のユークリッド互除法が非常に役立つのです。

では、実際にやってみます。
まず、759を161で割ります。すると商が4、余りが115になります。
つまり759=161・4+115ということです。
ここでユークリッドの互除法を適用すると、
(759と161の最大公約数)=(161と115の最大公約数)
が成り立ちます。
759と161の最大公約数を求めるよりは、
161と115の最大公約数を求める方が、少しは楽になりそうですよね。

ですがまだ終わりではありません。
今度は、161を115で割ってみましょう。商が1、余りが46です。
つまり、161=115・1+46です。
ここでまたユークリッド互除法により、
(161と115の最大公約数)=(115と46の最大公約数)となります。

さっきのと合わせると、(759と161)=(161と115)=(115と46)
となりました。だいぶ数が減ってきましたね。

同様に、115=46・2+23より、
(759と161の最大公約数)=…=(46と23の最大公約数)=23
と出ます。

このようにして、どれだけ大きい数の組であっても、
何度も何度も繰り返してひたすら割っていけば、
いずれは最大公約数を求めることができます。
このように同様の手順で繰り返し計算していくことをアルゴリズムと言います。
ユークリッド互除法の最大の特長はこの“アルゴリズム”です。
少し面倒な時もありますが、非常に万能性の高い定理です。
ちなみに、小さい方の数がN桁の自然数であれば、
互除法は5N回以内で終わることが知られています。

今回はユークリッド互除法の仕組みと使い方についてお話しました。

私がこの互除法をはじめてきちんと学習したのは大学生になってからです。
新課程で追加された分野の内容は、比較的難しめのものが多いかもしれませんね。
しかし、だからこそ適当に乗り切るのではなく、
学習していることの意味をしっかり根本から理解するよう意識して進めていくように
心掛けて頂きたいと思います。

いよいよスタートの季節、誰よりも輝かしいスタートダッシュが切れるように、
一緒に頑張っていきましょう。

名大理学部数理科学科 山下龍星

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St.メプレスのホームページ

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プリティ中野の書評 山本兼一著『信長死すべし』

山本兼一は僕の同志社文学研究会時代の仲間である。
今年の2月13日、僕の誕生日に彼は肺がんで他界した。
最後の原稿を中央公論の編集者に送稿した5時間半後に息を引き取ったのだった。
彼は骨太の歴史小説をいくつも遺していった。
まだ生き残っている僕は彼の作品を語り続けたい。
セント・メプレス発足時に推薦文を書いてくれた恩義に応えるためにも。


歴史上の事実を透視して

隠れているその真実を虚構の中に抉り出すという

歴史文学の生命線が骨太に貫かれている力作である。

本能寺の変の要因には諸説あるが、光秀が信長を討ったという事実は動かない。

ならば光秀の心の天秤を主君弑逆に傾けさせたベクトルが

単一であれ、複数ベクトルの合力であれ

普遍の人間性をキャンバスにしつつ山本の雄渾の筆致で本能寺が描かれれば、

読者は自ずと、光秀は言うに及ばず、信長や帝

さらには近衛前久を始めとする公卿と交感するのである。

時間と空間を超越する地下茎で繋がれた端末が個々の人間とするなら

マザーコンピュータが奈辺にあるのか。

その所在を垣間見せる力量こそが作家の力量であり

その意味で山本兼一は最もマザーコンピュータに肉薄した端末なのであろう。

― 光秀の魂は、そのまま深い闇の奈落に落ちていった。

最終章『無明』のエンディングである。

無明のカオスの中で人間は蠢き

その蠢きの一つひとつを糸として

壮大な人間の歴史が紡がれていく。

事件から430年が経過した今

山本兼一が創出する本能寺の変と交感し

描かれる無明の中に自分自身の座標を求めることができるなら

歴史小説読者として、至福の悦びとなるだろう。

その悦びを共有する一人として

まだ手にしておられない全ての方に本作を薦めるものである。


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山本兼一からいただいた推薦文

中野俊一氏は、わたしの同志社大学時代の先輩である。
わたしと中野氏は大学の文学研究会に所属していた。
わたしが二年になったとき中野氏は、その会の会長になった。
文学研究会は、学術団体でありながら、無頼を気取る輩が多かった。
そんななかにあって、中野氏はめずらしく情熱と責任感にあふれた人材であった。
だからこそ、自尊心の高い会員たちから請われて会長に就任したのである。
そんな中野氏がこのたび新しく塾を開くという。
その名はセント・メプレス。
中野氏が開く塾ならば、さぞや熱気にあふれ、
塾生は激しく切磋琢磨されることであろう。そう信じてやまない。

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在りし日の山本兼一



あなたが生まれたとき、周りの人は笑って、あなたは泣いていたでしょう。

だからあなたが死ぬときは、あなたが笑って、周りの人が泣くような人生をおくりなさい。

                               ~アメリカ・インディアンの言葉



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医学部受験生に贈る!
未来の医師養成講座
愛知医科大学理事長三宅養三先生からご推薦をいただきました。


講師:吉田統彦(つねひこ)先生




東海高校を経て名古屋大学医学部、同大学院卒業。
米国ジョンズ・ホプキンス大学ウィルマー・アイ・インスティテュートにて勤務。
眼科医。医学博士。愛知医科大学医学部客員教授。昭和大学医学部客員教授。
名古屋大学医学部非常勤講師。名古屋医療センター非常勤医師。前衆議院議員。

講義内容/日米の医療の比較を通じて、現代日本の医療問題を、毎回テーマを変えながら鋭くえぐりだし、医師をめざす受験生の使命感を、インテリジェントにそしてパッショネートに鼓舞します。このコースはまた医学部入試の面接試験での発言能力や小論文の背景知識を涵養することにも力を注ぎます。

2015年全9回コース
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  1. 2015/03/28(土) 00:00:01|
  2. 名古屋大学理学部
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名古屋千種駅前の医学部&名門難関大専門塾セント・メプレス学長。元大学受験ラジオ講座講師。

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